Hab.de Pensamiento - Logica Proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL

En general, en lógica se desarrollan diferentes SISTEMAS LÓGICOS para caracterizar diferentes clases de argumentos válidos. Cada sistema lógico caracteriza su propia clase de esquemas argumentales válidos: su validez se basa en el significado de ciertas expresiones que el sistema usa, las CONSTANTES LÓGICAS cuyo significado es fijo en el sistema .
El sistema de

Esta diferencia en el comportamiento de las conjunciones



Adviértase que los cinco primeros conectivos son binarios, es decir, conectan dos enunciados, mientras que la negación solo afecta a un enunciado, por lo que lo llamamos conectivo unario.
En nuestro lenguaje no solo podemos representar
    LÓGICA PROPOSICIONAL trata los formas argumentales cuya validez depende del significado de las expresiones y, o, si… entonces,etc. Todo lo demás que afecta la validez de los argumentos es descartada. Por lo tanto, la Lógica Proposicional no tratará argumentos tales como.
Los argumentos cuya validez depende de expresiones "cuantificacionales" será tratada por la LOGICA CUANTIFICACIONAL o PREDICATIVA. La Lógica Proposicional es el sistema lógico más simple y básico. Como dijimos, tratará la clase de argumentos cuya validez depende exclusivamente de cómo están "conectados" los enunciados: de aquellos argumentos que son deductivos en virtud de su estructura proposicional. Es decir, dentro de los argumentos deductivos, la Lógica Proposicional tratará de un subconjunto particular de estos argumentos, ie, de los argumentos que resultan deductivos debido a cómo están conectados los enunciados entre sí.
Este es el objeto de la LÓGICA PROPOSICIONAL. Si repasamos los ejemplos que hemos visto de esquema argumentales deductivos en virtud de su estructura proposicional, notamos que ya nos hemos apartado del lenguaje natural. En nuestros ejemplos de esquemas argumentales, usamos letras en lugar de enunciados y las palabras que aparecían conectando los enunciados podían representar las CONSTANTES LÓGICAS.
EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Este alejamiento del lenguaje natural, nos lleva a la creación de un LENGUAJE FORMAL para el estudio de los esquemas argumentales. Analizar los esquemas argumentales mediante un LENGUAJE FORMAL o ARTIFICIAL tiene varias ventajas. En primer lugar, nos permite crear un lenguaje hecho a la medida de nuestro interés. Si nuestro interés es el estudio de los argumentos cuya validez depende de cómo están conectados los enunciados, independientemente de su contenido, debemos ofrecer un análisis general de todos los enunciados o al menos de todos los enunciados de la misma forma. Y la verdad de tales enunciados solo puede probarse si descartamos la caracterización explicita de los enunciados del lenguaje natural. Para eso, elegiremos un lenguaje que conste de ciertas expresiones que funcionen como "conectivos" que serán las constantes lógicas de nuestro sistema y que sean la contrapartida lógica de las conjunciones gramaticales que aparecen en nuestros ejemplos como palabras. También tendremos letras para representar los enunciados. Tal como vimos en los ejemplos podremos representar enunciados como "María vendrá a la fiesta" con una letra y "Juan vendrá a la fiesta" con otra letra. Las letras representarán enunciados simples del lenguaje mediante los cuales se podrán construir enunciados complejos usando los conectivos. Llamaremos a estas expresiones que a diferencia de las constantes no tendrán significado fijo, VARIABLES lógicas.
Otra razón para usar un lenguaje formal es que al crearlo especialmente para nuestros fines, obviaremos una característica propia del lenguaje natural: su ambigüedad. Adviértase la dificultad para determinar la validez del siguiente argumento en el lenguaje natural: Los hombres y las mujeres de edad tienen prioridad Pedro es un hombre Pedro tiene prioridad La validez del ejemplo depende de cómo leamos la primera premisa. Sólo si "de edad" se aplica tanto a hombres como a mujeres, entonces el argumento es válido. Un lenguaje formal apropiado contendrá también signos auxiliares como los paréntesis que nos permitirán eliminar la ambigüedad o vaguedad.
Llamaremos L al LENGUAJE FORMAL DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL. Un lenguaje formal se caracteriza por su VOCABULARIO que se subdivide en 3 categorías (constantes lógicas, variables y signos auxiliares) y por su SINTAXIS que da una definición de las expresiones compuestas del lenguaje mediante un número de reglas explícitas que dicen que expresiones pueden combinarse entre si para crear nuevas expresiones. A continuación definiremos el VOCABULARIO DE L 1) VARIABLES PROPOSICIONALES. El vocabulario contará con un conjunto infinito de de variables proposicionales VP = {p, q, r, …. p1, p2, p3 …. q1,q2 ...}. 2) CONSTANTES LÓGICAS formado por el conjunto de CONECTIVOS o CONECTORES VERITATIVO-FUNCIONALES. Según lo que hemos dicho, los "conectivos" son las contrapartidas formales de las conjunciones gramaticales mediante las cuales formamos enunciados compuestos a partir de enunciados simples. Ahora bien, la restricción a enunciados, esto es, a oraciones susceptibles de ser verdaderas o falsas sugiere una clase de "conectivos". Según el principio de Composicionalidad el significado de un enunciado compuesto depende del significado de los enunciados que la componen. Pero puesto a que restringimos el significado de las oraciones a sus valores de verdad, la composicionalidad requiere que consideremos solamente los conectivos veritativo-funcionales, de modo que para determinar el valor de verdad de un enunciado compuesto sólo debemos prestar atención a los enunciados simples que la componen. ¿Qué es un conectivo veritativo-funcional? Veamos algunos ejemplos de enunciados 1. Juan está llorando. 2. Juan se golpeó la cabeza. 3. Juan se golpeó la cabeza y está llorando. 4. Juan está llorando porque se golpeó la cabeza.
Supongamos que los dos primeros enunciados son verdaderos, entonces (3) es verdadero. En cambio, (4) no sería necesariamente verdadero aunque los dos primeros enunciados lo fueran: Juan podría estar llorando por otras razones y no por el golpe. Página 3 de 9 Correciones y/o modificaciones Juan Carlos Arias Vázquez "y" y "porque" puede describirse así: 3 es verdadera si 1 y 2 son verdaderas y falsa si alguna de ellas es falsa. Pero ese no es el caso de 4, cuya verdad depende de algo más que la verdad de los enunciados que la componen. Los conectivos que dan lugar a enunciados cuyos valores de verdad dependen de los valores de verdad de los enunciados que la componen se llaman conectivos veritativo-funcionales. Nuestro lenguaje L contará con los siguientes conectivos veritativo-funcionales:

enunciados atómicos o simples mediante las variables proposicionales (convirtiendose entonces en fórmulas atómicas), sino que también podemos representar enunciados moleculares usando variables proposicionales y conectivos y obteniendo fórmulas moleculares.


L cuenta en su vocabulario con signos auxiliares: los paréntesis. Estos nos sirven para eliminar ambigüedades. Veamos un ejemplo:
1) Si hace frío, entonces Juan no sale y estudia. Es fácil ver como el lenguaje natural es ambiguo. Podemos interpretar de dos maneras el enunciado molecular: 1a) Cuando hace frío Juan no sale y además Juan estudia, haga frío o calor. 1b) Juan solo estudia cuando hace frío y no sale. Podría representar este enunciado molecular mediante la siguiente fórmula:

Pero de esa manera, estaríamos frente a la misma ambigüedad del lenguaje natural. Es por eso que introducimos como una categoría indispensable en nuestro lenguaje los paréntesis como signos auxiliares. Los paréntesis nos permitirán eliminar las ambigüedades del lenguaje natural. Esto significa que para transformar el enunciado (1) a una fórmula de L, debemos decidir si traducirla como:

LA SEMANTICA DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Hemos construido un lenguaje L suficientemente expresivo como para que nos permita estudiar los esquemas argumentales deductivos en virtud de su estructura proposicional. No sólo es un lenguaje útil para nuestros fines, sino que además tienen una propiedad sumamente atractiva, a saber, es un lenguaje

DISYUNCIÓN INCLUSIVA
"Se puede viajar con pasaporte o cédula"
Luego, decimos que la disyunción resulta verdadera si al menos uno de sus componentes es verdadero y falso solo si ambos componentes son falsos.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Ejemplo:
"O bien Juan se dedica a estudiar o bien se dedica a la música"
Decimos que la disyunción exclusiva resulta verdadera cuando sus componentes tienen distinto valor de verdad y es falso si sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad.

Llamamos ANTECEDENTE al primer componente del condicional y CONSECUENTE al segundo componente. Nótese que en el lenguaje ordinario si no siempre es usado veritativo-funcionalmente. Cuando decimos "Si Juan se golpea la cabeza, llora", quiere generalmente decir que en un momento dado es cierto que Juan llora si se ha golpeado la cabeza: "Si Juan se acaba de golpear la cabeza, entonces está llorando en este momento". Con este ejemplo, resulta evidente que el condicional será VERDADERO si Juan se ha golpeado la cabeza y Juan está llorando, y que el condicional será FALSO si Juan se ha golpeado la cabeza y no está llorando. ¿Pero que sucede si Juan no se ha golpeado la cabeza? Es decir, ¿si el antecedente es falso? Evidentemente no podríamos decir que el enunciado compuesto es siempre falso si el antecedente es falso, aunque tampoco resulta muy atractivo que el enunciado compuesto resulte siempre verdadero si el antecedente el falso. Elijamos esta alternativa, aunque resulte poco atractiva y veamos que resulta.

Adviértase que el caso en que Juan se ha golpeado la cabeza y no está llorando resulta falso. De esto resulta claro que el condicional tiene al menos un papel importante en el análisis de los usos del condicional en el lenguaje ordinario. Otras formas de uso de condicional han sido investigados por otros sistemas lógicos como por ejemplo la Lógica Intesional. Otro ejemplo:

"Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo recto"

NEGACIÓN
Ejemplo: "No es cierto que esté lloviendo"
11. TABLAS DE VERDAD

La interpretación de una fórmula queda completamente determinado por los valores de verdad de las variables proposicionales (VP) que dicha interpretación asigna a las letras enunciativas que aparecen en esa fórmula. Una vez que conocemos el valor de verdad que la interpretación asigna a cada VP y tenemos presentes las
definiciones de los conectivos resulta fácil determinar el valor de verdad que le corresponde a la fórmula completa. El procedimiento de determinación requiere ir por pasos, estableciéndolos valores correspondientes a los diferentes niveles de subfórmulas (indicados por los paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la fórmula completa. Así obtenemos una tabla de verdad para la fórmula en cuestión. Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores de verdad de las VP de una fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones, es decir, cada renglón será una interpretación posible para esa fórmula a partir de las diferentes combinaciones de valores de verdad para las VP que la compongan. Cada tabla requiere un número de interpretaciones que se corresponde con el número de combinaciones de valores de verdad para las VP que aparezcan en la fórmula. El criterio para determinar cuantas interpretaciones posibles tiene una fórmula depende del número de VP distintas que aparezcan en ella. Dado que según el Principio de Bivalencia que rige la Lógica Clásica una fórmula sólo puede tener dos valores de verdad (a saber, V o F) para una fórmula que contenga n VP, ese número es 2n. Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una que tenga 3, tendrá 23 = 8, una que tenga 4 24 = 16 y así sucesivamente.

"Si gano el 5 de oro, pagaré mis deudas" BICONDICIONAL Ejemplo:

CONDICIONAL

Analicemos el siguiente ejemplo y veamos como resulta (AvB)
unívoco, es decir, a diferencia del lenguaje natural, no es un lenguaje ambiguo: cada fórmula tiene una sola lectura. Ahora ya estamos en condiciones de INTERPRETAR nuestro lenguaje, es decir asignar significado a las fórmulas del lenguaje. Comencemos entonces por asignar significado a las fórmulas más simples. Según nuestra definición, "p" es una variable proposicional, y por lo tanto es una fórmula atómica que representa un enunciado atómico. Ahora bien, para nuestros fines – a saber, estudiar esquemas argumentales deductivos -- ¿nos interesa realmente el contenido o tema del enunciado? Claramente, no. ¿Qué información nos interesa del enunciado? Su valor de verdad. Por lo tanto, diremos que interpretar una variable proposicional es asignarle un valor de verdad. Como podrá intuirse por todo lo visto anteriormente, para interpretar las fórmulas moleculares, debemos ver como el valor de verdad de las fórmulas moleculares depende de los valores de verdad de las fórmulas que la componen Y DEL CONECTIVO usado. Para cada conectivo definimos una TABLA DE VERDAD.

Para saber que valor tiene (p ^ q) debo saber que valor tiene p y que valor tiene q. Por lo tanto, obtenemos una definición del significado de la conjunción ^ si determinamos que valor de verdad tiene una fórmula molecular que contiene la conjunción como conectivo principal para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las fórmulas que conecta. Para esto construirmos una tabla de doble entrada donde tomamos en cuenta TODAS las posibles combinaciones de valores de verdad de los componentes y vemos cual es el valor de verdad resultante. Volvamos a un ejemplo anterior: p = Juan se golpeó la cabeza q = Juan está llorando (p ^ q) = Juan se golpeó la cabeza y está llorando Como dijimos en su momento, resulta evidente que si "Juan se golpeó la cabeza" y "Juan está llorando" son V entonces "Juan se golpeó la cabeza y está llorando" es verdadera. Pero ¿Qué pasa si Juan no se golpeó la cabeza, o si no está llorando, o si no se golpeó ni está llorando? Entonces afirmar "Juan se golpeó la cabeza y está llorando" no es cierto. Este es solo un ejemplo, pero un poco de analisis nos llevaría a ver que la definición de la conjunción no cambiaría si en lugar de (p ^ q) analizaramos (p ^ r) o ( r^t). Con el fin de dar una definición general de los conectivos vamos a volver a usar las metavariables A y B que representan, como ya vimos, a cualquier fórmula. Decimos que la conjunción es verdadera si sus dos componentes son verdaderos y falsa en caso contrario.
Luego de calcular el número de renglones necesarios (en este caso hay sólo dos VP, luego serán 4 renglones) procedo de la siguiente manera:

Paso 1: La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las VP que aparecen en la fórmula.
Paso 2: Calculo el valor de Verdad correspondiente a las negaciones de VP.
Paso 3: Calculo los conectivos binarios que afecten directamente a VP o a negaciones de VP.
Paso 4: Calculo conectivos binarios que afecten a los resultados del paso anterior hasta llegar al conectivo principal de la fórmula.